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思维与数学教学——波利亚的数学教育思想（讲课）
乔治·波利亚（1887-1985）是当代深孚众望的著名数学家和数学教育家，美藉匈牙利数学的大师。他在实变函数、复变函数、概率论、组合数学、数记、几何、微分方程等若干数学分支领域都做出了开创性的贡献，在他所研究的领域里都留下了以他名字命名的术语和定理。他是法国科学院，美国全国科学院，美国科学艺术研究院，匈牙利科学院和布鲁塞尔国际科学哲学协会的会员或院士，他还是英国数学学会和瑞士数学学会的会员，美国斯坦福大学教授。1980年被邀请担任第四次国际数学教育会议的名誉主席。自由以来，同时在数学和哲学两大领域驰骋的行家可谓屡见不鲜，但既是卓越的数学家，又是杰出的数学教育家的伟人并不多见，波利亚正是这样一位天才。他既在数学领域内辛勤耕耘，又为培养年青一代而倾注心血。阐发他的思想的一些世界数学名著被译成许多文字，他的《数学与似真推理》《数学的发现》《怎样解题》三部著作在国际上被公认为数学思维和思维教学法的经典著作，被译成许多国文字，其中《怎么解题》一书被译成十六种文字，仅平装本销量在一百万册以上。按“波利亚的风格”“波利亚的方法”已成为美国广大教师的口头禅。他的数学教育思想在国际上亦有广泛的影响。有的学者设计了几种实验以检验和研究的解题思想，有的学院教师把它的思想作为授课内容来讲授。
波利亚对教学法发生兴趣，可以追溯到大学学生时期。邻居的一位中学生问他一道数学题，他自己解的飞快，但那位小邻居却老是听不懂他之所讲。由此，他悟出一个道理，自己懂与使人懂是两回事。五十年代，波利亚开始进入晚年，他有自知之明，发觉自己在各分支的研究成果越来越少，使便下决心转入数学思维方法，思维教学法的研究，同时致力于在职数学教师的思维再教育。
1.波利亚的数学教育宗旨：
波利亚长期以来所奉行的教育宗旨是“教会那些年青人去思考”，开发他们的才智、独立性、能动性和创新精神。这是他多年数学研究实践和长期积累的丰富教学经验的结晶。他认为传统教育的目的地和出发点之一在于便一个人在学校所受的教育能使他终身受益。这一传统观念显然与知识不断更新科学发展的日新月异的历史发展规律相悖。为适应时代发展需要波利亚认为方法和结果相比前者更为重要。因而早在二十年代他就把“养成读者的正确态度，加强某些思维训练”，培养“有益的思考方式”，应有的思维习惯放在首位，而把传授知识在次要一点的地位。他认为与其给人以死板的知识，以知识的宝藏，不如给人以活的、生动的方法，以点石成金的手段。正是在这种思想下指导下，他和他的挚友舍贵在他们名著《数学分析员中的问题和定理》中，通过煞费苦心的编排，试图让人们熟悉一般理解和认识事物的方法：“孤立的事实，将它与有关的事物作对照；新的发现，将它与熟悉的知识相联系，不习惯的，与习惯的相类比；特殊的结论，加以推广；一般的结果，给予适当的特殊化；复杂的情况，分解为组成部分；细节，通过概括，获得全貌”。问题的编排由浅入深，由简到繁，按解题方法的内在联系一步一个台阶，步步引向深入，以使读者亲身体验独立研究中可能碰到的不同情景。它不仅仅是一本定理和解题汇编，而更重要的是介绍解题思想、程序、方法的方法论巨著。六十年来，这是不计其数讨论班的支柱文献，它哺育了几代数学家，权威性的《美国数学月刊》杂志认为，对青年数学家思维方式的影响，至今还没有一本书能超过这部杰作。1971年在威奇诺召开的教师大会上，他再次指出：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。”无论从历史的角度看，还是从社会发展需要看眼，波利亚的这种数学教育思想都是正确的。学生的内蕴力，即理解、接受、发明和创新能力得不到发展，不善于独立思考，就不能跟上迅猛发展的时代，也不能适应千变万化的社会，更说不上为人类作出真正有价值的贡献。
在培养独立能力方面，波利亚特别注重“思想应该在学生的头脑中产生出来。而教师仅仅只应起一个产婆的作用。”他认为最适宜的形式是“苏格拉底问—答法”。他不倡导了探索式教学法或启发式教学法，认为在教学中最佳的方法就是多问：什么？为什么？哪里？何时与怎样？波利亚在他长期教学经验基础上，结合心理学研究成果，总结出一套怎样提问，怎样掌握提问的最佳时机和方式等的方法。他认为提问“应从一般化的问题和建议开始，逐步转向更特殊更具体的问题和建议，直到学生的头脑中得出答案为止”，要让学会感受到某种近似于某种独立的探索的经验”。在学生解题的过程中，“如果学生有进展，教师就不应该问他任何问题，以便让他独立思考；当学生停滞不前，教师就可以找一个适当的问题或建议去帮助他”而这种帮助应尽量顺乎自然，以照顾学生的自尊心，并且这种辅导要适中，辅导太少，问题仍将一无进展，教师帮过头了，则学生失去了品尝自己想出“好念头”的乐趣。波利亚特别反对那些“针对性太强的建议，”因为那将使学生使失去积极思考的机会。
波利亚把教会学生解题看作是教会学生思考，培养他们独立探索的一条有效途径。但他认为，一个学生要真正学会解题则必须“观察、模仿他人在解题时的所作所为”，关键的是应该去发现在“你通常在做些什么”和“应该去做些什么”之间的差别，并且只有通过亲自实践才能改变自己的思维习惯，才能真正学会应该怎样思考问题和解决问题，才能学到解题的方法。换句话说，如果不亲自动手解题，就无法了解解题的真谛。在这一点上他要求教师给以充分的理解，尽可能的给学生提供动手动脑的机会。
波利亚一生酷爱创造性活动，对发现有特殊的嗜好，自然而然的培养学生的独创精神在他数学教育思想中占有重要地位。他强调培养学生的数学技能，即“不仅能解决一般问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题”的能力。由此，他认为教师的职责应该是提高学生的“才智和推理能力，……发现和鼓励创造性见解。而如果他“使学生除了在恪守‘照章为事’的箴言时稍稍细心和耐心之外别无他求，而学生也无法发挥他的判断能力和创造才能”则是严重的失职。因此，他要求每个教师都应该亲自做一些研究工作。他认为，假如一个教师没有亲身体验过某种创造性工作，或缺乏这种经历，就不能指望他去启发、引导、帮助、察觉或鉴别学生的创造性见解和活动。
波利亚把教会学生去猜想作为培养创造能力的一种得力手段。因为一个合情合理的猜想并不是幻想，它需要锐敏的观察能力，深厚的知识功底和积极并富有想象和创造性思维活动。事实上，猜想往往是论证和推理的先导，教学生猜想，也就是为学生今后的如果发明创造做准备工作，因此，他强调在数学教学中必须教证明，又教猜想，即教论证推理又教合情推理。
2.学习和教学的三原则：
为贯彻他的数学教育宗旨，培养学生独立思考，独立研究和创新能力，波利亚提出了学生学习的三条原则：主动学习原则，最佳动机原则，阶段序进原则。
他认为学生不仅仅是被动的受教育者，他们还是学习的主体，只有充分调动他们的主观能动性，才能取得良好的学习效果。因此学习必须是积极主动的，自己不动脑筋就很难真正学到什么知识。从这一点出发，他认为学习任何知识的最佳途径都是自己去发现。因为这种发现理解最为深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系，对发现的成果也最能进行某种程度的推广。这种发现能使他们尝到自己发现的乐趣，而更爱学习数学。
学习总有学习的动机和目的，可能是为了实现家长的要求，为了在社会上取得令人羡慕的地位和良好的生活待遇，也可能出自于对集体的责任感和荣誉感，甚至怕惩罚也可能成为学习的动机。那么促使学生持之以恒地主动学习的最佳动机又是什么呢？波利亚认为寻致学习最佳动机的是使学生感兴趣的学习材料，是教学内容本身的内在魅力，而最佳动机则是期求在学习、探索这种强烈心智活动中找到乐趣的心理状态。这种心理状态会产生持久的内在动力，使学生保持旺盛的学习劲头，自觉地、全神贯注地、不知疲倦的学习。
为达到有效学习目的，波利亚详细分析了人类学习的全过程，他发现学习大致可分三个阶段：探索阶段，形式化阶段和同化阶段。
探索阶段是对事物的观察和初步了解，是行动和感受处于一种比较直观和启发式的水平上；
形式化阶段对所触及的事物进行了分类整理，引入了适当的定义、术语等，并认识了其中的规律性，认识上升到一个较概念化的水平上；
同化阶段有一种洞察事物“内部境界”的尝试，学生已经消化了学习材料，事物的规律性，在更广的范围内被人认识、推广和应用。
他认为学习过程应遵循这种模式，缺乏任一个环节都会使所学的知识不全面。根据阶段序进原则，他反对教科书只给学生提供常规练习，因为那种练习只是为了练习孤立的法则以及对孤立法则的应用。他建议教师多给学生一些有丰富历史背景并值得探索的习题，一些与现实世界密切相关的或与其它领域有联系的习题，一些先能品味科学家工作的习题。他说，这类习题比常规练习更能促进学习智力的成熟。
任何成功的教学法必然以某种方式与学习过程性质相通。波利亚认为学习二原则同时也是教学三原则。教师的作用应由传统的传递知识转向推动和促进学生主动学习。与此相应，教师应采用启发式教学法，充当思想的产婆，激发、诱导学生去积极思维，促使他们能自己去发现。以教学三原则为基础，结合他长期的教学经验，他结出了教师十诚：
①要对你讲的课题有兴趣；
②要懂得你讲的课题；
③要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现；
④要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置于他们之中；
⑤不仅要教给他们知识，并且要教给他们“才智”，思维的方式。有条不紊的工作习惯；
⑥要让他们学习猜测；
⑦要让他们学习证明；
⑧要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征——即设法去揭示隐藏在眼前具体情形中的一般模型；
⑨不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你说出来之前先去猜——尽量让他们自己去找出来；
⑩要建议，不要强迫别人去接受。
3.不忽视非智力因素的作用：
波利亚数学教育思想一个重要方面是他给予了兴趣，好奇心，好胜心，情感，意志等非智能要素在学习中的作用予以足够的重视。
好奇心，即要求理解，认识和发现的欲望，这显然是人类本性中最大的驱
策力。好奇与兴趣一般可以说是最先露头的理智能力。青少年通常渴求知识，爱问为什么？希望去探索问题的底蕴，波利亚认为，凡是真正希望帮助学生的教师首先应挑起学生的好奇心，“只要唤起他们的好奇心也就足以使他们开窍了。”波利亚挑起学生好奇心的秘诀之一是给学生某种解题愿望，让学生去探索有丰富背景的问题，与现实世界相关的有趣问题，这种探索会引起学生对问题的好奇心和兴趣，激起他们的求知欲，促进他们积极思维。
好胜心和自尊心人皆有之，青年和学生在这方面尤其突出，激起学生好胜
心和自尊心往往会激励他们动员全部力量来进行探索和创造。波利亚认为，利用这一点，教师不妨鼓励学生在解题前先去猜结果或部分结果，这会使那些表示了看法的学生更贯注于他们的问题，
情绪往往影响人们工作和学习的成效，情绪高涨使人精神振奋。注意力集
中，能保持旺盛的学习劲头，而情绪低落使人萎靡不振，对什么都容易产生某厌烦心理。波利亚提醒教师要特别注意这一点。要讲究授课艺术，在课堂上保持学生学习的高效涨情绪，上课千万不能把一句话不停的毫无变化的重复多遍，否则会令人生厌，即使一个必须强调的重点，也应学学音乐的艺术，学学一个主旋律如何随着旋律的起伏而不断出现的。在解数学题时，学生往往会因进展缓慢或束手无策而产生不耐烦情绪，波利亚建议教师碰到诸如此类情况时，不妨采用变换问题的形式或以其它方式保持学生对问题的注意力。
波利亚的数学教育思想是他长期教学经验的结晶，但另一方面肯定也受了
前辈们思想方法的熏陶及其它科学成果的启发。他的探索式或称启发式教学法得益于古希腊数学家帕扑斯和近代数学家波尔诺的探索法及苏格拉底著名的问答法，但波利亚的高明之处在于他把研究教学发明发现的规律和方法的探索法与问答法有机地揉合在一起提出了他的教学法，而其目的并不在于这种教学形式，而在于通过这种形式去教会学生思考，培养具有良好的思维方式和创造力的学生。莱布尼兹夫于“发明艺术”的思想及关于发明源泉的想法，多少强化事物关于发明创造的教育思想，他重视非智力因素作用肯定与心理学研究成果有关。此外他提倡教猜想是与他本人的科学研究风格有关。他提出的学习教学三原则及阶段进序原则完全符合唯物认识原理，他的数学教育思想对美国及世界数学教育事业的发展都做出了不可估量的贡献。研究它的数学教育思想有利于我们的数学教学。
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