数学思维的特点不仅表现它具有科学思维的全部质量因素，还表现为它有自身的独特的形式，这就是具体思维、抽象思维、函数思维和直觉思维。

1、具体思维：

是与事物的具体模型密切联系和相互作用的一种思维。

具体思维有以下两种形式：

（1）非操作的形式（指感知、观察），如直观教具演示；

（2）操作性的形式（对事物的具体模型直接进行操作）。如让学生操作字具，动手摆一摆，拼一拼，折一折，剪一剪，画一画等。

数学学科的特点是高度的抽象性和严密的逻辑性。任何一个数学概念、法则、公式的产生都离不开抽象、概括、逻辑推理等思维方法，而小学生思维的特点是以具体形象性为主，数学学科特点与儿童思维水平之间有一定的距离，缩短两者之间的距离所采用的手段主要靠直观教学。

过去，多采用非操作性的形式的具体思维形式，进行直观演示，这对帮助学生形成数学概念起了一作用。但演示教具，学生只能看，不能人人动手，有一定的局限性。如果让学生对事物的具体模型直接进行操作，多种感官参加活动，有利于促进学生思维的发展。生理学的研究表明，双手动作时，在脑与手之间，信息通过两条相向（双向）而行的途径高速的传导着，由手传到脑，由脑传到手，手脑之间存着千丝万缕的联系，在手脑并用时，大脑中与创造性有关区域受到刺激而活跃起来，手使脑的功能得到发票，变得更聪明，脑使手的技能得到训练，变得更灵巧，俗话说：“心灵手巧”，同样“手巧”也能使心灵。因此具体思维的操作性形式实质是把掌握知识的应有智力活动方式“外化”为动手操作的程序，然后又通过这一外部程序“内化”（外部动手操作向内部智力操作转化）为学生的智力的活动方式，从而发展学生的思维能力。

因此，为了培养学生具体思维能力，国内外很多学校不但教师有教具，学生还学具。实践证明，学具对发展学生的数学思维起了积极作用。深圳市荔园小学高级教师裘灼玲在教学中十分重视教具与学具的使用，她深有感触的说：“在小学数学教学中不使用教具和学具是最大的失误。”

2、抽象思维

抽象思维是与一种思维活动紧密相联，这种活动叫抽象化。抽象化具体有双重特性：否定性（丢掉研究对象的某些方面和性质）与肯定性（找出研究对象的一切确定的方面和性质）。

因此，抽象思维是一种特点在于摆脱并研究对象的具体内容以利用其一般性质的研究的思维。是以概念、判断、推理的形式来反映研究对象的本质特征和内部联系的。

　　抽象思维在数学教育中可表现为：

　 （1）明显的形式：例如在几何课分析一个几何体概念时，我们显然是摆脱了现实物体的其它所有性质，只留下形状，大小和空间的位置加以研究；又如在小学数学教学中讲2，也是从2个人，2个茶杯，2个苹果中抛开所代表的具体意义专门研究其数量。

（2）不明显的形式：例如在考虑某种具体事物的集合时，我们并不明显的摆脱每个个别事物的性质，而认为其中所有事物都是同样的。如自然数字集合，所有自然数都是平等的。同样的，尽管他们所代表的具体数量各不相同。

　　抽象思维可进一步细分为：

（1）分析思维；（2）逻辑思维（3）空间思维

（1）分析思维：特点在于认识过程中各阶段的明确性，不论就其内容而还是针对所采用的分析步骤而言，都是完全有意识的。

分析思维在数学教学过程中通过以下途径得以表现：

① 证明定理和解题的分析方法（欲认出对象，必先了解对象）；

② 用列方程的方法解题；

③ 讨论某题的结果等。

教师在依次引导学生进行上述数字活动时便可促进学生分析思维的发展。

分析思维并非脱离它形式的抽象思维而孤立存在，只不过在个别阶段上，对同时出现的其它思维形式来论说，它占主要地位而已。这种思维与思维的分析活动密切相连。

（2）逻辑思维：其特点是

①表现于从已知前提中导出结果，如数学结论的推导，归纳演绎；

②善于从某些一般情况中找出个别例子；

③善于从理论上予示具体结果，并将所获得结果进行推广等；

（3）空间思维：

特点在于善于在头脑中构成研究对象的空间形状和简略结构，并能将对实物所进行的操作，在头脑中进行相应的思考。

在教学中广泛采用直观教具或采用一些技术手段如幻灯、投影仪等在一定程度上有助于发展学生的空间思维能力。

在小学数学教学中，下面题目都是培养学生空间思维能力：

① 线段AB与COD的某一边是否相交？（图一）

② 图中有几个三角形？（图二）

③ 图中有几条线段？（图三）

3.直觉思维：

是认识的特殊方式，其特点是直接了解真理。通常把这样一些现象都算作直觉。

（1）用逻辑思维长久困感，而其解法却得于突然间；

（2）瞬间找到避开险境的唯一正确的方法；

    （3）迅速而无意识地猜破别人的意图或动机等。

    例如当年数学家高斯在证明一条定理时，折磨了他两年之久，后来突然一个想法他获得成功。他回顾说：“象闪电一样，迷一下解开了，我也说不清楚是什么导线把我原先的知识和我成功的东西连接起来了。”

    这就是直觉一种直觉。

    关于直觉，很多科学家都谈论过，但大多数是零碎的只言片语，未形成系统。下面介绍两位具有代表性且影响较大的苏联心理学家尼基杨罗姓和法国数学家彭加勒对直觉的论述。

    尼基杨罗娃在她的《论直觉》一文中把直觉思维形式表现特征概括为下列七点：

① 直接性；

② 没有推理；

③ 不存在某种努力和困难，过程似乎是自然进行的；

④ 过程伴随着对直觉结果之正确性的坚信感；

⑤ 这一过程的理智性，它使直觉有别于冲动性行为；

⑥ 直觉过程与解决新任务联系，这使它有别于习惯和熟练；

⑦ 速度性和瞬间性。

博学的大数学家彭加勒认为，数学的发明，创造无非是一种“组合”的“选择”而已。具体地讲，就是从已有的数学事实，例如概念、判断、变换、结构等出发，形成无穷的无尽的组合，在这些组合中选出有用的组合，就形成了新概念，新理论，把那些无用的组合扬弃。

他还告诉我们，摆在我们面前有无数条可供选择的道路，逻辑方法只能告诉我们走这条路或那条路不会遇到障碍，但却不能向我们指出哪条路能达到目的地。于是人们只能从远处瞭望目标，瞭望的本领就是直觉。没有直觉能力的数学家就会象这样一个作家，他只能按语法写诗，但却毫无思想。

 那么数学家这种选择能力是由什么来决定的呢？彭加勒认为是由数学家的数学直觉力决定，即数学家在无穷组合中选出有用组合的一种选择鉴别力。

以上两位科学家从不同的角度对直觉的论述，使我们对直觉有了一定的认识，而且对我们自觉地培养学生的直觉思维有很大的启发。

那么到底什么是直觉呢？目前还没有一个公认的确切定义，我们倾向于心理学观点的提法：

“直觉是由感情，意志及直接认识等所构成的一种心理活动。”

直觉思维与分析思维有什么区别呢？美国心理学家布鲁纳在他的名著《教育过程》一书中这样写到：“分析思维是以一次前进一步为其特征的，步骤是明显的，而且常常能由思维者向别人作适当报导，在这类思维过程中，人们能比较完整的意识到所包含的知识和运算。”

“直觉思维与分析思维迥然不同，它不是以按仔细的、规定好的步骤前进为特征的。的确，它倾向于从事看来是以对整个问题的内隐的感知为基础的那些活动。思维者虽然得到答案（不管是正确还是错误的）但它对其间的过程如何却很少知道。他难以说明是怎样获得答案的，而且他也许不知道他所回答的问题的情况是什么样子的。直觉思维是以熟悉牵涉到的知识领域及其结构为依据，使思维者可能实行跃进、越级和采取捷径，多少需要以后用比较分析的方法——不论演绎法或归纳法，重新检验所作的结论。”

在传统的数学教学过程中，过分重视逻辑思维而对直觉思维却有忽视的偏向。如常常对靠死记硬背而得到正确的答案的学生评价比对有天赋的学生有个人特色的答案评价高。

当前发展直觉思维吸引了众多的有进步思想的数学教育家的注意力。布鲁纳在《教育过程》一书中说：“机灵的推测，丰富的假设和大胆迅速地作地试验性结论——这些是从事发明创造的思想家极其珍贵的财富，要对这种品质及早培养。”

如何培养学生的直觉思维能力呢？

①在数学教学过程中，千方百计地激励学生进行猜测的愿望和能力在一定条件下有助于培养直觉思维。

    布鲁纳指出：“当教师自己在直觉地思维时，是否是最有可能在发展学生的思维能力呢？……，要是一个学生从未见过成人如何有效的运用直觉思维，那么要想发展他的这种能力或使他相信直觉思维的方法看来是不大可能的。一位准备对班上同学提出的问题做出猜测回答，然后又对自己的猜测给于批判性分析的老师，也许最能成功地培养学生运用直觉思维方法，而那种总是急不及待地分析自己感觉到的一切的那种老师，则不会如此成功……。”

    但是过去一般提到猜测往往会受到训斥，而且不晓得什么缘故，还同懒惰联系起来。

    事实上，解（让）数学的题时人们总是先猜而后解（让）的，所有解（让）题者都要猜。一旦我们认真地思考问题，就要调动记忆力，去回顾已有的知识、经验和教训，试图去预测、去猜想预猜着解题过程的大致轮廓，在某种程度上估计解题的难度，尝试着去猜题目的某些部分，结论的某些特征，或达到结论的某些途径。然后就发展猜测，按照成功的程度或多或少地进行修正，使之能尽快成为现实。不难看出，猜测在解题过程中扮演着重要的角色，是分析的动力。

    那么什么是测猜测呢？

    猜测是一种没有经过严密的推理和验证的试探性的判定，是一种直觉思维。

    在数学教学过程中，猜测常表现为不严谨的尝试，一试再试，边试边改。但这与那些无知的，漫不经心的瞎猜一通是有明显区别的。瞎猜是一种没有显然理由或目的的瞎摸乱碰，数学中的猜测应是明智的，严肃的，负有责任的，我们教会学生的当然不是瞎猜，而应当是合情合理的猜测。

    所谓合理的猜测就是猜测者能对猜测摆出等某种显然的理由。正如波利亚所说的“一个善于猜测的人必须学会拿说不清的感觉去对照说得清楚的理由。”

当然，合理猜测的结果有时间仍可能是错误的，这是不足怪的，因为“谬误无所不在，无孔不入，没有一种方法是万无一失的。”但它对导出一个更有希望的猜想仍然是有用的，科学家戴维就曾说过：“我们那些最重要的发现是受到失败的启示而作出的。”一旦发现猜测与事实不符，合理的猜测应迅速作出反应，修改或摒弃它。关于这一点，英国剑桥大学心理学教授巴特利特认为“测定智力技能唯一最佳标准，可能是检测摒弃谬误的速度。”而美国科学家冿泽则把死抱着无结果猜想生动地比做孵在煮过鸡蛋上的母鸡。

②加强双基教学，强调知识结构或连接性能促进直觉思维。

直觉思维尽管是跃进的，越级的，捷径式的思维，但这并不意味着它超越了以经验为基础的理性认识的界限。它产生的前提往往得思维者巩固的基础知识，扎实的基本技能，以及长能训练在这一领域内储存了大量的模式和范型，即所谓知识结构，一旦思考问题，就能使新的信息很快进入记忆，并在模式和范型的基础上简缩心理加工过程而产生新的飞跃，提出新的设想和新的配合，产生直觉。由此可见，没有深思熟虑的刻苦钻研和必要的信息量的积累，就不会有智力的跃进，不会有直觉的产生，所以要培养学生直觉思维能力，必须培养学生热爱科学，对研究问题有浓厚的兴趣，同时坚持把基础知识，基本原理讲清楚，讲正确。把基本功训练得更扎实，把知识织成网结。

③类比可以导致发现。

“独创性常常在于发现两个或两个以上的研究对象或设想之间的联系或相似之处。”直觉思维常常表现于类比推理的过程中之中，当学生解题出现困难时教师可采用启发式程序，“当你不能看出如何着手解题时，不妨想想同该题目相似的但较简单的问题，然后用解决较简单问题的方法作为解决较复杂问题的计划，这样行吗？”

    4.函数思维：就是数学概念及关系的变化性想互联系和相互转化等性质的认识。

    在数学教学过程中其表现如：

（1）从运动和变化中提出数学对象；

（2）运用因果关系对教学内容作实际有效的解释；

（3）重视说明数学对象的丰富内容，即强调数学的实用观点。

发展函数思维的手段之一是借助一组系统问题，这些习题的目的是对一些明显有“函数内容“的具体现象给予数学的表达和分析。一般情况下，解这类习题本身包含三方面的要求：

（1）从所研究的现象中，找出基本的、实质的联系，抛弃次要的，非实质的细节，采取各种不同的简化和假设；

（2）将所研究的现象中对象间的联系，用数量或几何的形式表现出来，再把它们之间的依存关系为相互的数学关系——公式、表格及图象；

（3）运用已学过的数学法则，研究所得到的数学关系，对所研究的结果，再用该现象的术语和概念予以解释。

遗憾的是，实际上由于时间不足，选题往往不得不局限在一切不完全的习题上，这些习题仅包含上述内容的一部份，究竟是哪些内容，取决于学生年龄和教师的意图。例如正方形ABCD被直线ＭＮ所截，MN过正方形的中心（即对角线交点）想象绕O点旋转直线MN（使E点从A移至B）试确定，在这变化过程中下述因素会不会变化的？如何变化？1）阴影部分面积；2）阴影部分周长。